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Reynolds Transport Theorem과 검사 체적(Control Volume)

# RTT ??

RTT는 대학교 2학년 과정의 유체역학을 공부하면 가장 먼저 보게 되는 정리로 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있습니다.

 

시간에 따라 형태가 변하는 계(System) 내의 물리량에 관한 정리

 

연속체의 역학을 다룰 때 매우 유용한 정리로 유체역학, 고체역학 등의 해석에 주로 이용되죠.

 

# RTT와 검사 체적 해석

유체역학에서는 RTT를 주로 검사 체적(Control Volume)을 다룰 때 사용하게 되는데요~

실제 RTT의 개념과 검사 체적 해석 시 사용하는 개념이 조금 다릅니다.

지금부터 그 차이점에 대해 자세하게 알아 보겠습니다.



RTT의 일반적인 표현식


우선, RTT의 기본 식에 대해 알아 보겠습니다.

 


여기서 는 계 내의 물리량는 위치 x에서의 경계면의 속도이며 는 위치 x에서의 곡면 의 법선 벡터입니다.

 

 

위 식의 유도는 시중의 아무 유체역학 책을 보셔도 무리 없이 이해가 가실 겁니다.

 

# 열린 계

주의하셔야 할 점은 위 식에서 는 시간 t일 때, 우리가 보고자 하는 계를 의미한다는 것입니다.

여기서의 계는 열린 계(Open System)로써 에너지와 물질이 드나들 수 있는 계입니다.

 

다시 말해서, RTT는 계 내의 어떤 물질을 가지고 얘기하는 것이 아니라는 말이죠.

 

위의 정리는 계가 연속적으로 움직이고, 그 계 내의 물리량이 연속적이기만 한다면 항상 성립하는 식입니다.

연속적이라는 단서는 미분이 필요하기 때문에 붙은 것입니다.

 

그렇다면 이를 어떻게 검사 체적 해석에 사용할까요?

 


닫힌 계에서의 RTT

 

# 닫힌계

위에서 는 열린 계로 에너지와 물질이 자유로이 드나들 수 있다고 했습니다.

그렇다면 만약 이를 닫힌 계(Closed System), 즉 에너지는 드나들 수 있지만 물질은 그렇지 못한 계로 한정 지으면 어떻게 될까요?

 

유체나 고체의 한 덩어리(Parcel)만을 계로 잡을 때가 이 경우에 해당합니다.

 

위와 같은 경우는 경계면의 속도가 결국 그 지점에서 물질의 속도가 됩니다.

, 다음 식이 성립하죠.

 


이를 이용하여 RTT를 다시 써보면 다음과 같이 됩니다.

 


 


RTT와 검사 체적 해석


위에서 언급했듯이 닫힌 계에서의 RTT는 유체나 고체 한 덩어리를 하나의 계로 보았을 때 적용되는 정리입니다.

                                                                                                              

그러나 우리가 흔히 사용하는 검사 체적은 열린 계로써 지면에 고정되어 있습니다. (물론 가속되는 계의 경우를 다루기도 하지만 그것은 나중 문제로 남겨두죠)


# 검사 체적 해석

그렇기 때문에 위의 식이 특정 시간 t에 대해 성립하는 식임을 이용하여 간단한 트릭을 이용합니다.

바로 시간 t0일 때의 유체나 고체 덩어리를 검사 체적으로 정하는 것이죠.

식으로 표현하면 다음과 같습니다.



물론 t0초가 아닌 다른 시간대에서는 위의 식이 성립하지 않겠죠. (ex.)

유체나 고체 덩어리가 우리가 보고자 하는 검사 체적이 아닌 다른 영역을 차지하고 있을 테니까요.

 

그렇다면 시간 t0일 때, RTT식은 다음과 같이 바뀌게 됩니다.


 

이제 익숙한 식이 나왔죠?

이 식이 바로 검사 체적에서 RTT를 이용한 식입니다.

 


왜 바로 RTT를 적용하지 않는가?


그렇다면 왜 바로 맨 위의 RTT 정의에서 열린 계인 검사 체적을 바로 도입하지 않고 유체나 고체 덩어리를 닫힌 계로 보는 과정을 도입했느냐 하면,

이미 눈치채셨을 수도 있지만 바로 유체나 고체를 직접 다룸으로써 질량과 운동량 보존 법칙을 적용하기 위해서랍니다.

 

RTT는 다분히 수학적인 식으로 실제 물리 현상을 다루는 정리라고 섣불리 결정지을 수 없습니다.

그러나 위의 과정을 거치면서 역학적 문제로 다뤄질 수 있게 되는 거죠.

 

조금 감이 잡히셨나요?

 

혹시 궁금한 점 있으시면 댓글 남겨주시기 바랍니다^^

 

 


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